決定係数とは？求め方や相関係数の違いについて解説！

決定係数とは？

決定係数（coefficient of determination）R² は、回帰モデルがどの程度データを説明できているかを示す指標です。

R² の値は 0 から 1 の間を取り、1 に近いほどモデルの説明力が高いことを意味します。

決定係数は以下の式で計算されます。

$$R^2 = \frac{\left( \sum_{i=1}^{n} (\hat{y_i} – \bar{y})(y_i – \bar{y}) \right)^2}
{\sum_{i=1}^{n} (\hat{y_i} – \bar{y})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i – \bar{y})^2}$$

ここで、

• \(y_i\)：観測値（実際のデータ）
• \(\hat{y_i}\)：回帰モデルの予測値
• \(\bar{y}\)：データにおける平均値（線形回帰分析において、実測値と予測値の平均値は共通）

です。

また、変形すると以下のような式になります。

$$R^2 = 1 – \frac{SS_{R}}{SS_{T}}$$

ここで、

• \(SS_{R}\)（残差平方和, Residual Sum of Squares）：回帰モデルの誤差の大きさを表す。
• \(SS_{T}\)（全変動, Total Sum of Squares）：データのばらつき全体を表す。

残差平方和（Residual Sum of Squares, SSR）

残差平方和とは、各データ点の実測値と回帰モデルによる予測値との差（残差）の二乗和です。これは、モデルが説明できなかった誤差の合計を表します。

ここで、

$$SS_{R} = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y}_i)^2$$

• \(y_i\)：観測値（実際のデータ）
• \(\hat{y_i}\)：回帰モデルの予測値

残差平方和が小さいほど、モデルの予測が実測値に近く、誤差が少ないことを示します。

全変動（Total Sum of Squares, SST）

全変動とは、データ全体のばらつきを示す指標で、各観測値とその平均値との差の二乗和で表されます。

$$SS_{T} = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \bar{y})^2$$

全変動はデータの分散を表し、モデルの説明力を評価する基準となります。もし回帰モデルがデータを完璧に説明できるならば、残差平方和は 0 になり、決定係数は 1 になります。

相関係数との違い

相関係数とは？

相関係数（correlation coefficient）は、2つの変数の線形関係の強さを示す指標であり、記号 r で表されます。

$$-1 \leq r \leq 1$$

• \(r=1\)の場合、完全な正の相関がある（片方が増えるともう片方も増える）。
• \(r=-1\)の場合、完全な負の相関がある（片方が増えるともう片方は減る）。
• \(r=0\)の場合、相関がない。

決定係数との関係

決定係数 R² は、相関係数 r を2乗したものと等しくなります（線形単回帰分析の場合）。

$$R^2 = r^2$$

したがって、相関係数 r が ±1 に近いほど、決定係数 R² も 1 に近づき、モデルの説明力が高いことが分かります。

まとめ

決定係数はモデルの説明力を測る重要な指標ですが、単純に R² だけを見て判断するのは危険です。

自由度調整済み決定係数や、場合によっては他の指標も活用しながら、統計的な分析をより深く理解していきましょう。